Арифметические прогрессии часто встречаются на практике. Работать с ними не сложно — это один из простейших видов последовательностей. Тему подробно разбирают на уроках алгебры для 9-го класса общеобразовательной школы. Наши калькуляторы позволят быстро провести онлайн все необходимые вычисления.
Онлайн калькуляторы арифметической прогрессии
Для расчета и просмотра решения введите значения и нажмите кнопку Рассчитать.
Нахождение суммы
Вычисление n-ого члена
Формулы для расчета
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член можно найти, прибавив к предыдущему одно и то же число d.
Число d называют разностью арифметической прогрессии. В зависимости от значения d выделяют три вида последовательностей:
- d > 0 — возрастающая (например 2, 7, 12, 17, 22, 27…)
- d < 0 — убывающая (109, 99, 89, 79…)
- d = 0 — стационарная (45, 45, 45, 45…)
Рекуррентная формула
Если d > 0, то действует следующее свойство арифметической прогрессии:
n-ый член
Несложно вывести формулу n-ого члена прогрессии. Последовательно вычислим несколько членов:
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = a1 + 3d
В результате рассуждений получаем общую формулу n-ого члена:
Сумма арифметической прогрессии
Рассчитать сумму первых n членов арифметической прогрессии можно несколькими способами:
Примеры задач с решениями
- Задача. Найдите 11-ый член арифметической последовательности и сумму первых одиннадцати, если a1 = 9 и d = 3.
Запишем решение:
a11 = a1 + d ⋅ (n — 1) = 9 + 3 ⋅ (11 — 1) = 39
Сумма S15 = ((a1 + a11) ⋅ n) : 2 = ((9 + 39) ⋅ 11) : 2 = 264
Проверьте решение на калькуляторе.
- Дана арифметическая прогрессия 1, 5, 9, 13… Вычислите количество членов последовательности, если их сумма равна 231.
Записываем известные параметры: a1 = 1, d = a2 — a1 = 5 — 1 = 4. Подставляем значения в формулу суммы:
231 ⋅ 2 = (2 ⋅ 1 + 4 ⋅ (n — 1)) ⋅ n
462 = 2n + 4n2 — 4n
4n2 — 2n — 462 = 0
Находим положительный корень квадратного уравнения: n = 11.
Используйте калькуляторы для проверки вычислений.
